Entendo sobre bits e bytes e operadores logicos

O episodio de CRC fizemos vários cálculos usando operadores lógicos e utilizando valores binários, ok, mas de onde vem o bit e oque são operadores lógicos ? Hoje vamos entender sobre o que são bits, bytes e operadores lógicos.
Um processador é um microchip que realiza cálculos matemáticos para obter uma saída a partir de um determinado valor de entrada, dentro desses microchips temos milhões de componentes eletrônicos chamados transistores, não precisados necessariamente entender o que é esse componente, oque precisamos saber e que esse componente armazena um tipo de dado, que chamados de bit, quando o transistor esta desligado ele representa o valor 0, e quando esta ligado representa o valor 1, portando, um transistor só pode representar um valor por vez e justamente esse valor que chamamos de bit.
Um bit e a menor unidade de armazenamento de dados, como logicamente só podemos representar dois valores, temos que usar uma base que não seja decimal, afinal não podemos representador qualquer valor acima de 1 em um componente que só representa 0 e 1, é ai que entra a base binaria, essa base usa apenas dois dígitos para representar qualquer valor em qualquer base, e adivinha? São justamente os valores 0 e 1, ok, e como representamos qualquer valor como apenas dois dígitos? Simples adicionamos mais dígitos da mesma base ou seja mais 0s e 1s.
Tem um certo numero de possibilidades de valores que podemos representar a medida em que adicionamos mais bits, para calcular a possibilidade de números que podemos representar, basta elevarmos o valor 2 ao expoente que sera a quantidade de bits que temos para representar, acompanhe a tabela abaixo:

Bits	Cálculo	Possibilidades
1	2¹	2
2	2²	4
3	2³	8
4	2⁴	16
5	2⁵	32
6	2⁶	64
7	2⁷	128
8	2⁸	256

Perceba que agora temos uma forma para descobrir a quantidade de possibilidade de números que podemos representar com determinada quantidade de bits, N bits: \(2^n\) possibilidades. Na ultima linha desta tabela temos a um total de 8 bits que são capazes de representar até 256 possibilidades, neste ponto temos a definição de byte: um byte um conjunto de 8 bits. Um byte sempre sera terá 8 bits que vai de 00000000 a 11111111.
A partir daqui temos agora outras ordens de grandeza, que são:

Nomenclatura	Quantidade de Bytes
1 Byte	8 bits
1 KiloByte/KBytes	1024 Bytes (2¹⁰)
1 MegaByte/MByte	2²⁰ => 2¹⁰ * 2¹⁰ => 1024 KBytes
1 GibaByte/GBytes	2³⁰ Bytes => 1024 MBytes
1 TeraByte/TBytes	2⁴⁰ Bytes => 1024 GBytes
1 PetaByte/PBytes	2⁵⁰ Bytes => 1024 TBytes

Vimos que o valor de GBytes para TBytes por exemplo e de 1024 e em todas as outras grandezas e sempre 1024 da ordem de grandeza do valor anterior, pois bem, isso acontece porque em binário o valor mais próximo que temos de 1000 e o valor 1024 ou seja 2¹⁰
Agora que já conhecemos o que são bits e bytes e suas ordens de grandeza, vamos falar de sistemas de numeração e conversão de bases, sabemos que a base decimal tem 10 dígitos de 0 a 9 e a base binaria tem 2 dígitos 0 e 1. Podemos através de cálculos matemáticos representar qualquer valor de um base em outra base e vice-versa.
Para entendermos melhor o calculo, vamos reescrever o valor 3425 na base decimal usando notação cientifica:

3425
||||=> 5 * 10 ⁰
|||=> 2 * 10¹
||=> 4 * 10²
|=> 3 * 10³

Perceba um detalhe, os expoentes da direita para a esquerda o valor é crescente, lembre-se bem disso pois iremos usar este pequeno detalhe mais adiante.
Que numero representa o byte 10100111 em base decimal ? Para descobrirmos vamos construir a mesma representação de notação cientifica para este valor, POREM na base binaria afinal o valor e binario.

10100111
||||||||=> 1 * 2⁰
|||||||=> 1 * 2¹
||||||=> 1 * 2²
|||||=> 0 * 2³
||||=> 0 * 2⁴
|||=> 1 * 2⁵
||=> 0 * 2⁶
|=> 1 * 2⁷

Agora vamos resolver essas pequenas equações e vamos somar tais resultados:

1 * 2⁰ = 1
1 * 2¹ = 2
1 * 2² = 4
0 * 2³ = 0
0 * 2⁴ = 0
1 * 2⁵ = 32
0 * 2⁶ = 0
1 * 2⁷ = 128

Vamos somar os resultados: 1 + 2 + 4 + 0 + 0 + 32 + 0 + 128 = 167
Sabemos agora que o byte 10100111 em binário representa o valor 167 em decimal, perceba que nessa conversão nos usamos primariamente a multiplicação.
Agora na conversão de decimal para binario usaremos duas operações que é a divisão e o modulo, na divisão vamos aproveita o quociente e no modulo o resto da divisão, lembrando que para as duas operadores se convergirem e necessario que a divisão respeite o resto e não tente zera-la, afinal esse o principal fator de uso do modulo (uma operação mod é uma divisão que não retorna o resultado em si, mas sim o resto daquela divisão),vamos converter o valor 37 para binário:

37 mod 2 = 1 e Quociente e igual a 18
18 mod 2 = 0 Quociente e igual a 9
9 mod 2 = 1 Quociente e igual a 4
4 mod 2 = 0 Quociente e igual a 2
2 mod 2 = 0 Quociente e igual a 1
1 mod 2 = 1 Quociente e igual a 0

Perceba que, o resto de uma divisão é sempre menor que o dividendo portando vamos pegar somente os restos da divisão começando da ultima divisão feita, ate, a primeira divisão feita: 100101, vamos validar esse valor fazendo a conversão do binário para decimal:

100101
|||||| => 1 * 2⁰
||||| => 0 * 2¹
|||| => 1 * 2²
||| => 0 * 2³
|| => 0 * 2⁴
| => 1 * 2⁵

Agora valor resolver as equações e soma-las:

1 * 2⁰ = 1
0 * 2¹ = 0
1 * 2² = 4
0 * 2³ = 0
0 * 2⁴ = 0
1 * 2⁵ = 32

Vamos somar os resultados: 1 + 0 + 4 + 0 + 0 + 32 = 37, perceba que o resultado final foi 37 novamente o que comprova que o nosso calculo de divisão está correto. Portanto podemos transformar um valor decimal em binário apenas fazendo divisões consecutivas pelo base 2, e fazemos isso ate que o quociente da divisão seja 0.
Como acabamos de ver, podemos facilmente converter a representação de valores entre diferentes bases numéricas, portanto vamos ver mais duas bases de extrema importância para a área tecnologia com um todo, a base Octal e a base Hexadecimal.

Base Octal

A base octal trata-se de representações numéricas que vão de 0 a 7 (8 dígitos), a quantidade de bits que pode representar até 8 valores é 3 como vimos na primeira tabela.
Vejamos brevemente como funciona as conversões de octal para decimal e vice versa e também para binário:

Decimal para Octal e vice-versa

Para fazer a conversão de Decimal para Octal fazemos exatamente no formato do Decimal para Binário, divisões modulo sucessivas e pegamos o resto da ultima divisão ate a primeira e pronto, temos a representação do valor em Octal. Vamos representar o valor decimal 3259 em sua representação Octal:

3259 mod 8 = 3 o quociente é igual a 407
407 mod 8 = 7 o quociente é igual a 50
50 mod 8 = 2 o quociente é igual a 6
6 mod 8 = 6 0 quociente é igual a 0

Pegando o resto da ultima divisão ate a primeira sabemos que o valor 3259 Decimal é 6273 na base Octal.
Agora Vejamos o inverso, da base Octal para a Base Decimal:

6273
||||=> 3 * 8⁰
|||=> 7 * 8¹
||=> 2 * 8²
|=> 6 * 8³

Resolvendo as equações e somando-as:

3 * 8⁰ = 3
7 * 8¹ = 56
2 * 8² = 128
6 * 8³ = 3072

Vamos somar os resultados: 3 + 56 + 128 + 3072 = 3259, logo vemos que conseguimos voltar ao valor decimal original, o que prova que a equação está correta.

Octal para binário e vice versa

Para realizamos qualquer conversão de octal para binário ou binário para octal primeiro devemos converter o valor de octal para decimal e ai sim converter para binário no primeiro caso, no segundo devemos converter o binário para decimal e ai sim convertermos para octal. Mas em relação ao binario para octal, tem uma forma bem mais eficaz de fazer essa conversão sem termos que intermediá-lo pelo decimal: Vamos converter o valor Octal 1634 para binário: Nessa conversão temos duas formas de fazer isso, a primeira e substituindo cada digito do valor octal pela sua representação em binario com 3 digitos, vejamos como funciona.

Agora que sabemos o valor binario de cada digito do valor, valor concatena-los: 001110011100 Acho que agora deve está bem obvio como fam

Base Hexadecimal

A base Hexadecimal e usada em muitos âmbitos da tecnologia, desde criptografias de valores até chaves de autenticação e tokens.
A base Hexadecimal utiliza a base 16 (daí o nome obviamente), porem há uma peculiaridade que vamos ver agora: Os valores dessa base vão de 0 a 9 (Como na base decimal) porem quando chega em valores que dois digitos (10 ate o 15) em vez de usar os dígitos normalmente ele usa letras que vão de A (10) ate 15 (F), vejamos melhor nesta tabela:

Decimal	Hexadecimal
0	0
1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
10	A
11	B
12	C
13	D
14	E
15	F

Por que isto acontece? Um digito no valor Decimal apenas 1 caractere, porem quando vamos representar valores acima de dois dígitos, passamos a ter que usar dois caracteres para mostrar esse valores, portanto para continuar usando apenas 1, mudamos a representação do valor em números por letra, as vantagens disso e que ocupam menos espaço em memoria, além de se tornarem visivelmente menores.

Conversões de numeros Hexadecimais

As conversões de valores hexadecimais são na mesma logica dos valores Octais, onde para convertemos de binário para hexadecimal e vice versa precisamos intermediá-lo pela base decimal, então o valor binário vira decimal e depois sim hexadecimal e o mesmo e valido para o inverso.
Vamos a alguns exemplos:
Temos o byte 11001011 quero saber que valor ele representa em Hexadecimal, valor primeiro converte-lo pra decimal:

11001011
||||||||=> 1 * 2⁰
|||||||=> 1 * 2¹
||||||=> 0 * 2²
|||||=> 1 * 2³
||||=> 0 * 2⁴
|||=> 0 * 2⁵
||> 1 * 2⁶
|=> 1 * 2⁷

Temos agora o valor em decimal:

1 * 2⁰ = 1
1 * 2¹ = 2
0 * 2² = 0
1 * 2³ = 8
0 * 2⁴ = 0
0 * 2⁵ = 0
1 * 2⁶ = 64
1 * 2⁷ = 128

Somando os valores:
1 + 2 + 0 + 8 + 0 + 0 + 64 + 128 = 203

Um atalho para a conversão

Uma forma de converter um valor Binario para Hexadecimal é separar o binário em blocos de 4 bits, começando do bit menos significativo (direita) e depois convertendo cada bloco de 4 bits para seu equivalente hexadecimal. Por exemplo, o número binário 11001011 pode ser separado em 1100 e 1011, que correspondem aos valores hexadecimais C e B, respectivamente. Então, o valor total em hexadecimal é CB. Essa técnica é muito útil para conversões rápidas e pode ser usada tanto para converter de binário para hexadecimal quanto vice-versa.